السبت، 3 نوفمبر، 2012

المشتقات الرياضية أو الحسابية ومحاولة شرحها بكلام مبين

ما أسعدك عندما تتمكن من شرح مفهوم كنت تعاني من غياب من يعينك على فهمه بعيدا عن تطبيقاته.
كثيرا ما صادفتني في حياتي موضوعات علمية يخفق شارحوها في  إيصال معناها ومبتغاها وعلل فوائدها وهذا إما لقصور الشارحين أو جهل بعضهم بالمعنى العميق لها وقد اخترت لكم اليوم إحدى أسهل هذه المفاهيم والتي لاشك أن من تدرج في الدراسة
ليصل إلى ما قبل مرحلة الكلية قد مر عليها فأهملها أو أهمل التوقف عندها واكتفى الكثيرون بالتعامل مع مسائلها في المنهج دون إرهاق الدماغ بأصلها وجدواها وسبب إيجادها وظروف ظهورها وهذا المفهوم هو مفهوم المشتقة الرياضية (derivative)
وربما جاء وقت لشرح التكامل الحسابي والدوال الجيبية ومفاهيم أخرى .

كثيرا ما يتلازم مقداران أو كميتان فلو كان لدينا  سيارات تحمل صناديق من مكان إلى آخر وكانت كل سيارة تحمل في كل رحلة خمسة صناديق فلا شرطة المرور تسمح لها بحمل ستة أو أكثر ولا صاحب العمل يسمح للسيارة أن تنطلق بحمولة تقل عن خمسة 
عندها يكون عدد الصناديق الواصلة إلى الهدف = 5 × عدد السيارات الواصلة 
لا تشغل بالك بكم صندوق في المسألة يجب حمله واعتبر العدد كبيرا جدا نحتاج سنوات ليحمل وكذلك افعل مع عدد السيارات واجعله كبيرا واجعل كل سيارة تقوم بتحميلة واحدة وتنصرف دون أن تعود.
من عدد الصناديق الواصلة تعلم كم سيارة وصلت بأن تقسم عدد الصناديق على خمسة ومن عدد السيارات الواصلة إلى محل الإفراغ تعلم عدد الصناديق الواصلة بأن تضرب عدد السيارات بخمسة.
تجد تلازما (سنسميه فيما بعد خطيا) بين عدد الصناديق الواصلة وعدد السيارات الواصلة .فإذا ازدادت السيارات الواصلة إزداد عدد ما جاء من الصناديق وإذا ازداد عدد الصناديق ازدادت السيارات .
هذا التلازم أو العلاقة تسمى خطية وتكون فيها النسبة بين المتغيرين (وهنا عدد السيارات الواصلة وعدد الصناديق الواصلة ) ثابتة وهي خمسة هنا والتي هي عدد الصناديق لكل سيارة . 
لكن لو كانت النسبة غير ثابتة متغيرة تتغير مع تغير أحد المقدارين تغيرا خطيا .
كيف؟
هذا نرى مثاله جليا في تعجيل السيارة وسقوط الأجسام.
سيارة تسير بسرعة 100 كيلومتر في الساعة (كم \ ساعة : مسافة مقسومة على زمن)
يفهم من هذا أن السيارة بعد ساعة تقطع 100 كيلو متروبعد نصف ساعة تقطع 50.
لكن لو فكر سائق السيارة أن يزيد سرعته إلى 200كيلومتر في الساعة فإن سرعته لابد أن تتحرك من 100 إلى 200 بعد أن يزيد ضغط رجله على دواسة الوقود.
قلت تتحرك سرعته أو تتغير وإلا كيف ستصل إلى 200
السرعة هي النسبة هنا بين مقدارين : المسافة والزمن   
هذه النسبة لم تعد ثابتة بل متغيرة وتتغير بتناسب مع الزمن وهذا التناسب يسمى تعجيل (والتناسب بين النسبة والزمن يعتمد على ضغطك على الدواسة)

عندما كانت السيارة تسير بسرعة ثابتة (100كم لكل ساعة ) كان تعجيلها صفر لأن تغير السرعة لكل وحدة زمن (لتكن ساعة )صفر؛ المسافة تتغير لكن الفرق في السرع بين كل زمنين صفر.
المشتقة تستعمل عندما تكون النسبة بين مقدارين متغيرة وتغيرها متناسب مع مقام النسبة وهنا فأن السرعة التي نسبة المسافة على الزمن متناسبة أو متلازمة مع الزمن  
فكلما سارت السيارة تغيرت سرعتها فهي تسير بتعجيل والغرض من المشتقة أن نعلم سرعة السيارة في أي لحظة نختارها ففي كل لحظة للسيارة سرعة .
السيارة وغيرها من الأنظمة المتغيرة مقاديرُ فيها تتغير بقوانين ندعوها دوال
إذا كانت السيارة تسير بقانون :
f=t^2+2t وال f=المسافة المقطوعة وt= الزمن فإن السرعة في كل لحظة متغيرة وتساوي 2t+2 وكما ترى فإنها تعتمد على قيمة t أي تتغير مع الزمن .
التعجيل لهذه السيارة هو باشتقاق 2t+2 ليكون الناتج 2 كما أننا باشتقاق الدالة الأولى حصلنا على معادلة السرعة والتي هي :f=2t+2 .
لم أشرح كيف تحولت معادلة إلى معادلة لأن الغرض كان هو معنى المشتقة .
قد تجد أنظمة فيها التعجيل متغير ونظريا يمكن أن نكتب معادلات ونشتقها ونشتق مشتقاتها حتى نمل دون أن نحصل على ناتج ثابت . 
ليست المشتقة حكرا للسيارات والمركبات وليس مقتصرا على التعجيل وليست المشتقة هي الوحيدة التي تحتاج إلى تسهيل فمواضيع كثيرة في الرياضيات والفيزياء وغيرها تمرعلى الطلاب فلا يحرص اساتذتهم على أن تتشرب عقولهم بها  .    
  
   

هناك تعليق واحد :

  1. شرح مُبسط و واضح ، يعطيك العافية
    ممُكن مثال أخر للمشتقات ؟

    ردحذف